viernes, 25 de abril de 2014

Leyes de Newton

Las leyes de Newton, también conocidas como leyes del movimiento de Newton, son tres principios a partir de los cuales se explican la mayor parte de los problemas planteados por la mecánica, en particular, aquellos relativos al movimiento de los cuerpos. Revolucionaron los conceptos básicos de la física y el movimiento de los cuerpos en el universo. Son herramientas fundamentales para comprender nuestro entorno ya que permitieron dar un paso fundamental en el campo de la Física, explicando las causas del movimiento. 

Así, las Leyes de Newton permiten explicar tanto el movimiento de los astros, como los movimientos de los proyectiles artificiales creados por el ser humano, así como toda la mecánica de funcionamiento de las máquinas.

Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia 

Newton expone que:
Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.


Esta ley postula, por tanto, que un cuerpo no puede cambiar por sí solo su estado inicial, ya sea en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se aplique una fuerza o una serie de fuerzas cuyo resultante no sea nulo sobre él. Newton toma en cuenta, así, el que los cuerpos en movimiento están sometidos constantemente a fuerzas de roce o fricción, que los frena de forma progresiva, algo novedoso respecto de concepciones anteriores que entendían que el movimiento o la detención de un cuerpo se debía exclusivamente a si se ejercía sobre ellos una fuerza, pero nunca entendiendo como está a la fricción.
En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilíneo uniforme implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra forma; un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no se aplica una fuerza sobre él. En el caso de los cuerpos en reposo, se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.
La primera ley de Newton sirve para definir un tipo especial de sistemas de referencia conocidos como Sistemas de referencia inerciales, que son aquellos sistemas de referencia desde los que se observa que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza neta se mueve con velocidad constante.

Segunda ley de Newton o ley de fuerza
La segunda ley del movimiento de Newton dice que:
El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.


Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en el momento lineal de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, la fuerza y la aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en función del momento que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto.
En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:
\mathbf{F}_{\text{net}} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t}
Donde:
\mathbf{p} es el momento lineal
\mathbf{F}_{\text{net}} la fuerza total o fuerza resultante.
Suponiendo que la masa es constante y que la velocidad es muy inferior a la velocidad de la luz la ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera:
Sabemos que \mathbf{p} es el momento lineal, que se puede escribir m.V donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.
\mathbf{F}_{\text{net}} = {\mathrm{d}(m\mathbf{v}) \over \mathrm{d}t}
Consideramos a la masa constante y podemos escribir   {\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}=\mathbf{a} aplicando estas modificaciones a la ecuación anterior:
\mathbf{F} = m\mathbf{a}

La fuerza es el producto de la masa por la aceleración, que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia.
Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta.

Tercera ley de Newton o ley de acción y reacción

Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y contraria: quiere decir que las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentido opuesto.


Expone que por cada fuerza que actúa sobre un cuerpo (empuje), este realiza una fuerza de igual intensidad, pero de sentido contrario sobre el cuerpo que la produjo. Dicho de otra forma, las fuerzas, situadas sobre la misma recta, siempre se presentan en pares de igual magnitud y de dirección, pero con sentido opuesto.
Este principio presupone que la interacción entre dos partículas se propaga instantáneamente en el espacio (lo cual requeriría velocidad infinita), y en su formulación original no es válido para fuerzas electromagnéticas puesto que estas no se propagan por el espacio de modo instantáneo sino que lo hacen a velocidad finita "c".

Es importante observar que este principio de acción y reacción relaciona dos fuerzas que no están aplicadas al mismo cuerpo, produciendo en ellos aceleraciones diferentes, según sean sus masas. Por lo demás, cada una de esas fuerzas obedece por separado a la segunda ley. Junto con las anteriores leyes, ésta permite enunciar los principios de conservación del momento lineal y del momento angular.



jueves, 13 de marzo de 2014

Leyes del Redondeo

Leyes de Redondeo


El redondeo es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado. Se simboliza con ≈. Por ejemplo 2,95 ≈ 3 o √2 ≈ 1,414 . Se utiliza con el fin de facilitar los cálculos. Como desventaja, al calcular con valores aproximados se acumulan errores de redondeo que pueden hacer variar significativamente el valor estimado obtenido respecto del valor real.

Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a la centésima, se aplicará las reglas de redondeo:
·         Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica.
Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12,612 ≈ 12,61.
·        Dígito mayor o igual que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad.
Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales se debe tener en cuenta el tercer decimal: 12,618 ≈ 12,62
Ejemplo: 2,3571 redondeado a la centésima es 2,36 , debido a que 2,3571 está más cerca de 2.36 que de 2.35.

Para el redondeo de números se deben seguir las siguientes reglas [1]:

1)     Si la primera cifra que se omite (arroja) es 0, 1, 2, 3 ó 4, entonces la última cifra que se conserva en el número aproximado se conserva sin ningún cambio (redondeo con defecto).
2)     Si después de la última cifra conservada sigue un 9, 8, 7, 6 ó 5, luego de la cual sigue una o varias cifras significativas, entonces en necesario sumar una unidad a la cifra que se conserva, si la última cifra que se conserva es 9, ésta debe cambiarse a 0 y se aumenta en una unidad el valor de la penúltima cifra (redondeo con exceso).
3)     Si luego de la última cifra conservada se tiene sólo la cifra 5 ó la cifra 5 seguida de ceros, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior

Ejemplos.
·       Redondear el número 28,872 hasta tres cifras significativas.

Debido a que la primera cifra que se arroja 7, es mayor que 5, entonces la cifra 8 se aumenta en una unidad, obteniéndose el número redondeado 28,9.

·        Redondear el número 28,252 hasta tres cifras significativas.

Debido a que la primera cifra que se arroja es 5 y después de ella sigue la cifra significativa 2, entonces la cifra que se conserva, 2 se aumenta en una unidad. El número redondeado será 28,3.

·        Redondear el número 0,8735 hasta tres cifras significativas.

Debido a que la última cifra que se conserva 3 es impar, entonces se aumenta en una unidad y el número redondeado será 0,874.

Cuando se redondean números mayores de diez, los ceros que no son cifras confiables no se escriben y se denota por separado el multiplicador 10x.

Por ejemplo el número 158965,7 redondeado hasta tres cifras significativas, debe ser representado como 159 × 103 ó 15,9 ×104 ó 1,59 × 105. Esta última notación es la preferida.

Si, por ejemplo, el número 5230 tiene sólo las dos primeras cifras confiables, se debe escribir 5,2 × 103.

En el número 3500 hay cuatro cifras confiables, en el número 3,5 × 103 hay sólo dos cifras confiables.

Cuando se realiza un redondeo el valor aproximado puede ser mayor o menor que el número exacto.

En la práctica en la mayoría de los casos no se conoce el valor exacto del número aproximado y el error de su redondeo. Sin embargo siempre es posible indicar la magnitud del error límite absoluto Da, el cual representa un número positivo, para el cual se cumple la desigualdad


donde         z es el valor exacto del número
         a es el valor aproximado del número z.





jueves, 27 de febrero de 2014

Cifras Significativas y sus reglas

Regla 1


En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos.

3,14159    seis cifras significativas    3,14159
5.694    cuatro cifras significativas    5.694

Regla 2


Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos

2,054    cuatro cifras significativas    2,054
506    tres cifras significativas    506

Regla 3


Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven para fijar la posición del punto decimal y no son significativos.

0,054    dos cifras significativas    0,054
0,0002604  cuatro cifras significativas 0,0002604

Regla 4 


En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.

0,0540    tres cifras significativas    0,0540
30,00    cuatro cifras significativas    30,00


Regla 5 


Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden o no pueden ser significativos. Para poder especificar el números de cifras significativas, se requiere información adicional. Para evitar confusiones es conveniente expresar el número en notación científica, no obstante, también se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos.

1200    dos cifras significativas    1200
1200,    cuatro cifras significativas    1200,

Regla 6



Los números exactos tienen un número infinito de cifras significativas.
Los números exactos son aquellos que se obtienen por definición o que resultan de contar un número pequeño de elementos. Ejemplos:
-   Al contar el número de átomos en una molécula de agua obtenemos un número exacto: 3.
-   Al contar las caras de un dado obtenemos un número exacto: 6.
-   Por definición el número de metros que hay en un kilómetro es un número exacto: 1000.

- Por definición el número de grados que hay en una circunferencia es un número exacto: 360


Notación Científica; sus reglas y aplicación.

Sus inicios... 


El primer intento de representar números demasiado grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obra El contador de Arena en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos. 
A través de la notación científica fue concebido el modelo de representación de los números reales mediante coma flotante. Esa idea fue propuesta por Leonardo Torres Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) y George Robert Stibitz (1939).

Definición


La Notación Científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeñas
Se describe la notación que usa la potencia de 10 para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Los números se escriben como un producto:
             a x 10n
siendo:
a un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.
10n un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.



Aplicación


Suma y resta
Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes , dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.
Ejemplos:
2×105 + 3×105 = 5×105
3×105 - 0.2×105 = 2.8×105
2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)
= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105


Multiplicación
Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.
Ejemplo:
(4×1012)×(2×105) =8×1017


División
Para dividir cantidades escritas en notación científica se divi
den los coeficientes y se restan los exponentes.
Ejemplo: (48×10-10)/(12×10-1) = 4×10-9


Potenciación
Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.
Ejemplo: (3×106)2 = 9 ×1012.


Radicación
Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.
Ejemplos:
\sqrt{9\cdot 10^{26}} = 3\cdot 10^{13}
\sqrt[3]{27\cdot 10^{12}} = 3\cdot 10^{4}
\sqrt[4]{256\cdot 10^{64}} = 4\cdot 10^{16}